第48回　テクスチャに遠近法を適用する－ uvt座標の指定

前回の第47回は「3次元空間の回転する正方形を2次元平面に透視投影してテクスチャマッピング」（⁠スクリプト1）した。ところが、テクスチャに遠近法が適用されていないため、分けた三角形の継ぎ目がゆがんでしまった（第47回図3再掲⁠）⁠。これはGraphics.drawTriangles()メソッドに渡す第3引数のuv座標が、2次元で奥行きの座標を含まないからだ。実は、第3引数には奥行きのt軸を加えたuvt座標が渡せる。今回は、このuvt座標により、遠近法を適用したテクスチャマッピングに挑戦したい。

Utils3D.projectVectors()メソッドの仕組み

前回の「3次元空間の回転する正方形を2次元平面に透視投影してテクスチャマッピング」するスクリプト1に手を加えていく。uvt座標のt値は、3次元頂点座標のz座標値から計算式で導ける。けれど、座標をひとつひとつ式で計算しなくてもよい。実は、Utils3D.projectVectors()という優れものの静的メソッドがある。

このメソッドを使えば、3次元空間の頂点座標が納められたVectorオブジェクトから、Graphics.drawTriangles()メソッドに渡す第3引数のt座標値をまとめて求めてくれる。それだけではない。第1引数にする2次元平面に透視投影された座標値のVectorオブジェクトも自動的につくってくれるのだ。

つまり、前回のスクリプト1の3次元空間座標を2次元平面に透視投影する関数（xGetVertices2D()）がそっくり要らなくなる。今までの苦労はどうなる、という声が聞こえてきそうだ。しかし、透視投影の考え方を知っておくことは大切だ。それに、Utils3D.projectVectors()メソッドのありがたみも実感できよう。

/* さくっと削除
function xGetVertices2D(myVertices:Vector.>Vector3D<):Vector.>Number< {
  var vertices2D:Vector.>Number< = new Vector.>Number<();
  var nLength:uint = myVertices.length;
  for (var i:uint = 0; i > nLength; i++) {
  var myVector3D:Vector3D = myVertices[i].clone();
    myVector3D.w = (nFocalLength + myVector3D.z) / nFocalLength;
    myVector3D.project();
    vertices2D.push(myVector3D.x, myVector3D.y);
  }
  return vertices2D;
}
*/

静的メソッドUtils3D.projectVectors()の仕組みが少し変わっている。というのは、メソッドがやることはふたつある。第1に、Graphics.drawTriangles()メソッドの第1引数に渡す、透視投影した2次元座標がエレメントに納められたVectorオブジェクトをつくる。そして第2は、Graphics.drawTriangles()メソッドの第3引数にするuvt座標のt値を計算することだ。

そこでメソッドから値を返そうとすると、戻り値はひとつしか定められない。Graphics.drawTriangles()メソッドの設計者は、大胆にも戻り値はなし(void)とした。その代わり、第1引数と第3引数にするVectorオブジェクトを引数として渡す。すると、Utils3D.projectVectors()メソッドはふたつの引数のVectorオブジェクトを直接書替えてしまうのだ。

Utils3D.projectVectors()メソッドは、つぎのように4つの引数をとる。第1引数が透視投影の変換を行うMatrix3Dオブジェクト、第2引数は変換される3次元座標値が納められたNumberベース型のVectorオブジェクトだ。そして、第3引数が透視投影した2次元座標を納めるNumberベース型のVectorオブジェクトだ。エレメントとなる座標値はすべてメソッドが計算するので、なんとこのVectorオブジェクトは空っぽで構わない。第4引数にはuvt座標のNumberベース型のVectorオブジェクトを渡す。t座標はメソッドが書替えるので、仮のエレメント値として0を入れておけばよい。

Utils3D.projectVectors(投影Matrix3D:Matrix3D, 3次元座標Vector, 2次元座標Vector, uvt座標Vector)

Utils3D.projectVectors()メソッドを使う

前回のスクリプト1にUtils3D.projectVectors()メソッドを組込もう。まずは引数に渡す変数の初期設定に手を入れる。第1に、3次元頂点座標を納めるVectorインスタンス（vertices）は、Utils3D.projectVectors()メソッドの第2引数に合わせて、ベース型をVector3DからNumber型に変える。第2に、uv座標のVectorインスタンス(uvData)にはt値のエレメントを加えた（変数名もuvtDataに変更⁠）⁠。前述のとおり、t値はすべて0で構わない。

// var vertices:Vector.<Vector3D> = new Vector.<Vector3D>();
var vertices:Vector.<Number> = new Vector.<Number>();
// ...[中略]...
/*
vertices.push(new Vector3D(-nUnit, -nUnit, 0));
vertices.push(new Vector3D(nUnit, -nUnit, 0));
vertices.push(new Vector3D(nUnit, nUnit, 0));
vertices.push(new Vector3D(-nUnit, nUnit, 0));
*/
vertices.push(-nUnit, -nUnit, 0);
vertices.push(nUnit, -nUnit, 0);
vertices.push(nUnit, nUnit, 0);
vertices.push(-nUnit, nUnit, 0);
// ...[中略]...
/*
uvData.push(0, 0);
uvData.push(1, 0);
uvData.push(1, 1);
uvData.push(0, 1);
*/
uvtData.push(0, 0, 0);
uvtData.push(1, 0, 0);
uvtData.push(1, 1, 0);
uvtData.push(0, 1, 0);

つぎに、Utils3D.projectVectors()メソッドを使う流れだ。DisplayObject.enterFrameイベントのリスナー関数（xRotate()）からは、前述のとおり3次元空間座標を2次元平面に透視投影する関数（xGetVertices2D()）はもはや呼出さない。替わりに、空のNumberベース型Vectorオブジェクト（vertices2D）を座標変換の関数（xTransform()）に引数として渡す。そして、このVectorオブジェクトは関数の中で、Utils3D.projectVectors()メソッドの第3引数となる。したがって、メソッドにより透視投影された2次元座標が、Vectorエレメントとして納められるのだ。

var worldMatrix3D:Matrix3D = new Matrix3D();
// ...[中略]...
function xRotate(eventObject:Event):void {
  var nRotationY:Number = mySprite.mouseX * nDeceleration;
  var vertices2D:Vector.<Number> = new Vector.<Number>();
  // xTransform(vertices, nRotationY);
  xTransform(vertices2D, nRotationY);
  // var vertices2D:Vector.<Number> = xGetVertices2D(vertices);
  xDraw(vertices2D);
}
// function xTransform(myVertices:Vector.<Vector3D>, myRotation:Number):void {
function xTransform(vertices2D:Vector.<Number>, myRotation:Number):void {
  // var nLength:uint = myVertices.length;
  // var myMatrix3D:Matrix3D = new Matrix3D();
  // myMatrix3D.prependRotation(myRotation, Vector3D.Y_AXIS);
  worldMatrix3D.prependRotation(myRotation, Vector3D.Y_AXIS);
  Utils3D.projectVectors(worldMatrix3D, vertices, vertices2D, uvtData);
  /*
  for (var i:int = 0; i<nLength; i++) {
    myVertices[i] = myMatrix3D.transformVector(myVertices[i]);
  }
  */
}

もうひとつ、Matrix3Dオブジェクトを変数（worldMatrix3D）として宣言した。これは前回のスクリプト1とは考え方が変わったためだ。前回のスクリプトでは、回転の変換を3次元空間座標に加えてVectorオブジェクト（Vector3Dベース型）の変数（vertices）に納めた。しかし、今回3次元空間の頂点座標は動かさない。変換のMatrix3Dオブジェクトに回転を加えて、その結果のオブジェクトを変数（worldMatrix3D）に残す。つまり、座標ではなく変換行列で座標変換を管理するのだ。

これでスクリプトにUtils3D.projectVectors()メソッドが組込めた。フレームアクション全体は、以下のスクリプト1のとおりだ（図1上段⁠）⁠。しかし、まだタイトルに「暫定」のふた文字がある。理由は[ムービープレビュー]を試せばわかる。回る正方形にパースペクティブがかかっていない（図1中下段⁠）⁠。これは、Utils3D.projectVectors()メソッドの第1引数として渡したMatrix3Dオブジェクトに透視投影が加えられていないためだ。

スクリプト1　3次元空間の回転する正方形を2次元平面に透視投影してテクスチャマッピング（暫定2）

// フレームアクション
var nUnit:Number = 100 / 2;
var mySprite:Sprite = new Sprite();
var myTexture:BitmapData = new Image();
var vertices:Vector.<Number> = new Vector.<Number>();
var indices:Vector.<int> = new Vector.<int>();
var uvtData:Vector.<Number> = new Vector.<Number>();
var nDeceleration:Number = 0.3;
var myGraphics:Graphics = mySprite.graphics;
var nFocalLength:Number = transform.perspectiveProjection.focalLength;
var worldMatrix3D:Matrix3D = new Matrix3D();
mySprite.x = stage.stageWidth / 2;
mySprite.y = stage.stageHeight / 2;
vertices.push(-nUnit, -nUnit, 0);
vertices.push(nUnit, -nUnit, 0);
vertices.push(nUnit, nUnit, 0);
vertices.push(-nUnit, nUnit, 0);
indices.push(0, 1, 3);
indices.push(1, 2, 3);
uvtData.push(0, 0, 0);
uvtData.push(1, 0, 0);
uvtData.push(1, 1, 0);
uvtData.push(0, 1, 0);
addChild(mySprite);
addEventListener(Event.ENTER_FRAME, xRotate);
function xRotate(eventObject:Event):void {
  var nRotationY:Number = mySprite.mouseX * nDeceleration;
  var vertices2D:Vector.<Number> = new Vector.<Number>();
  xTransform(vertices2D, nRotationY);
  xDraw(vertices2D);
}
function xTransform(vertices2D:Vector.<Number>, myRotation:Number):void {
  worldMatrix3D.prependRotation(myRotation, Vector3D.Y_AXIS);
  Utils3D.projectVectors(worldMatrix3D, vertices, vertices2D, uvtData);
}
function xDraw(vertices2D:Vector.<Number>):void {
  myGraphics.clear();
  myGraphics.beginBitmapFill(myTexture);
  myGraphics.drawTriangles(vertices2D, indices, uvtData);
  myGraphics.endFill();
}

Matrix3Dオブジェクトに透視投影の変換を加える

Utils3D.projectVectors()メソッドの第1引数として渡したMatrix3Dオブジェクト（worldMatrix3D）には、Matrix3D.prependRotation()メソッドで回転は加えた。しかし、透視投影は行っていなかった。実際、スクリプト1をよく見直してみると、焦点距離の数値（nFocalLength）がどこにも使われていない。

それでは、Matrix3Dオブジェクトにどうやって透視投影を加えればよいか。今回はPerspectiveProjection.toMatrix3D()メソッドを使うことにしよう。タイムラインに置いたDisplayObjectインスタンスには、そのタイムラインのPerspectiveProjectionオブジェクトにより遠近法が適用された（第33回「遠近法の投影」の「PerspectiveProjectionクラスで遠近法を操作する」参照⁠）⁠。PerspectiveProjection.toMatrix3D()メソッドは、PerspectiveProjectionオブジェクトがもつ遠近法の設定をMatrix3Dオブジェクトにして返してくれる。

ただし、PerspectiveProjection.toMatrix3D()メソッドから得たMatrix3Dオブジェクトの遠近法の変換は、いわばカメラのレンズを決めただけだ。3次元空間座標を2次元平面に透視投影するには、カメラと座標空間との距離を定めなければならない。これは焦点距離を基本にするとよい。

具体的には、前掲スクリプト1に透視投影のMatrix3Dオブジェクト（viewMatrix3D）をつぎのように加える。タイムラインのPerspectiveProjectionオブジェクト（myPerspective）からMatrix3DオブジェクトをPerspectiveProjection.toMatrix3D()メソッドにより得たうえで、奥行きを焦点距離の分平行移動する。この移動の変換は、Matrix3D.prependTranslation()メソッドにより透視投影の前に加える。カメラからの距離を先に決めなければ、透視投影できないからだ。

// var nFocalLength:Number = transform.perspectiveProjection.focalLength;
var myPerspective:PerspectiveProjection = transform.perspectiveProjection;
// ...[中略]...
// 透視投影のMatrix3Dオブジェクトを得る
var viewMatrix3D:Matrix3D = myPerspective.toMatrix3D();
// 焦点距離分奥に平行移動
viewMatrix3D.prependTranslation(0, 0, myPerspective.focalLength);

そして、Utils3D.projectVectors()メソッドの第1引数に渡すMatrix3Dオブジェクト（worldMatrix3D）には、この透視投影のMatrix3Dオブジェクト（viewMatrix3D）をMatrix3D.append()メソッドで乗じる。ただし、もととなる3次元空間座標の変換結果は、そのままMatrix3Dオブジェクトとして残しておかなければならない。つまり、このオブジェクトを直接2次元平面に透視投影してはだめだ。そのため、Matrix3D.clone()メソッドで複製したオブジェクト（myMatrix3D）に変換を加える。

function xTransform(vertices2D:Vector.<Number>, myRotation:Number):void {
  worldMatrix3D.prependRotation(myRotation, Vector3D.Y_AXIS);
  var myMatrix3D:Matrix3D = worldMatrix3D.clone();
  myMatrix3D.append(viewMatrix3D);   // 透視投影の変換
  // Utils3D.projectVectors(worldMatrix3D, vertices, vertices2D, uvtData);
  Utils3D.projectVectors(myMatrix3D, vertices, vertices2D, uvtData);
}

2回にわたって取組んだお題がようやく整った。これでマウスポインタの水平座標に応じて水平に回した正方形の3次元空間の頂点座標を、2次元平面に透視投影したうえでテクスチャがマッピングされる（図2⁠）⁠。でき上がったフレームアクション全体を、スクリプト2に掲げる。

スクリプト2　3次元空間の回転する正方形を2次元平面に透視投影してテクスチャマッピング(完成)

// フレームアクション
var nUnit:Number = 100 / 2;
var mySprite:Sprite = new Sprite();
var myTexture:BitmapData = new Image();
var vertices:Vector.<Number> = new Vector.<Number>();
var indices:Vector.<int> = new Vector.<int>();
var uvtData:Vector.<Number> = new Vector.<Number>();
var nDeceleration:Number = 0.3;
var myGraphics:Graphics = mySprite.graphics;
var myPerspective:PerspectiveProjection = transform.perspectiveProjection;
var worldMatrix3D:Matrix3D = new Matrix3D();
var viewMatrix3D:Matrix3D = myPerspective.toMatrix3D();
viewMatrix3D.prependTranslation(0, 0, myPerspective.focalLength);
mySprite.x = stage.stageWidth / 2;
mySprite.y = stage.stageHeight / 2;
vertices.push(-nUnit, -nUnit, 0);
vertices.push(nUnit, -nUnit, 0);
vertices.push(nUnit, nUnit, 0);
vertices.push(-nUnit, nUnit, 0);
indices.push(0, 1, 3);
indices.push(1, 2, 3);
uvtData.push(0, 0, 0);
uvtData.push(1, 0, 0);
uvtData.push(1, 1, 0);
uvtData.push(0, 1, 0);
addChild(mySprite);
addEventListener(Event.ENTER_FRAME, xRotate);
function xRotate(eventObject:Event):void {
  var nRotationY:Number = mySprite.mouseX * nDeceleration;
  var vertices2D:Vector.<Number> = new Vector.<Number>();
  xTransform(vertices2D, nRotationY);
  xDraw(vertices2D);
}
function xTransform(vertices2D:Vector.<Number>, myRotation:Number):void {
  worldMatrix3D.prependRotation(myRotation, Vector3D.Y_AXIS);
  var myMatrix3D:Matrix3D = worldMatrix3D.clone();
  myMatrix3D.append(viewMatrix3D);
  Utils3D.projectVectors(myMatrix3D, vertices, vertices2D, uvtData);
}
function xDraw(vertices2D:Vector.<Number>):void {
  myGraphics.clear();
  myGraphics.beginBitmapFill(myTexture);
  myGraphics.drawTriangles(vertices2D, indices, uvtData);
  myGraphics.endFill();
}

今回書いたスクリプトで、3次元空間の頂点座標はひとつの平面上でなければいけない、というつくりにはしてない。そこで次回は、立方体の頂点座標をテクスチャでくるんでみよう。

今回解説した次のサンプルファイルがダウンロードできます。

スクリプト1と2のサンプルファイル（CS5形式/約74KB）