目次

第1章　事始めピタゴラスの定理

• 1.1　3-4-5の不思議
• 1.2　完全数6のこと
• 1.3　数のあそび
• 1.4　ピタゴラスの定理を満たす整数
• 1.5　ピタゴラス数になりそこなった自然数と大フェルマーの定理
• 1.6　知っているつもりのピタゴラスの定理
• 1.7　タイル張りと並び替え
• 1.8　音階の研究もしたピタゴラス
• 1.9　相似形を使った証明
• 1.10　ピタゴラス学派の大事件
• 1.11　純正律と平均律
• 1.12　ピタゴラスを救ったユークリッドの証明
• 1.13　余弦定理と正弦定理
• 1.14　ユークリッド幾何の真髄はこれだ −座標の導入−

第2章　ユークリッドの公理を見直してみよう

• 2.1　根本からの見直し
• 2.2　5つの公準から4つの公理へ
• 2.3　図形の移動と裏がえし ―合同に関する基本―
• 2.4　直線の存在，線分との違い
• 2.5　合同と相似
• 2.6　三角形の合同と相似について ―一歩立ち止まって考える―
• 2.7　三角形の4心
• 2.8　垂心の定理
• 2.9　平行線とは何か？
• 2.10　三角形の内角の和は180°か
• 2.11　平行線についての永久問題

第3章　球面上の直角三角形ではどうなる

• 3.1　天動説から地動説へ ―球面上には平行線が1本も無い―
• 3.2　球面上の円と直線
• 3.3　合同はあるが相似はない ―三角形の内角の和は180°より大きい―
• 3.4　球面上での図形の移動
• 3.5　対称変換 ―平面幾何の裏返しに対応―
• 3.6　平行線がなく，相似がなく，三角形の内角の和が180°より大きい
• 3.7　球面幾何の直線を再確認する
• 3.8　しかし2点を結ぶ直線が無数にあった。球面幾何の公理
• 3.9　姿を変えたピタゴラスの定理
• 3.10　余弦定理と正弦定理
• 3.11　球面幾何の余弦定理
• 3.12　三平方の定理への回帰
• 3.13　非ユークリッド幾何に向けて ―球面三角形の面積は？―

第4章　双曲幾何に向けて

• 4.1　双曲幾何のピタゴラスの定理
• 4.2　三角関数は動的現象，双曲線関数は静的現象
• 4.3　x＝0の近くでは三平方の定理になる
• 4.4　双曲幾何の夜明け
• 4.5　透視図法 ―遠近法の発見 ―無限を有限にとりこむテクニックのヒント―
• 4.6　複比（compound ratio）
• 4.7　複比の封印を解く
• 4.8　平行線はどうなるか

第5章　複素平面の幾何から見直してみると

• 5.1　複素平面で図形を描いて移動させる
• 5.2　複素平面での円と正多角形
• 5.3　ガウスが正17角形の作図に成功
• 5.4　複素平面での図形の移動とピタゴラスの定理
• 5.5　合同変換から見た直線
• 5.6　ポアンカレのモデル ―上半平面と単位円板―
  • 付録1　楽しく学ぶための三角関数と双曲線関数の基礎
  • 付録2　双曲線と双曲線関数

第6章　永久問題:予想外の解決 ―ピタゴラスの定理はどうなる？―

• 6.1　複素平面上の複比と分数変換
• 6.2　分数変換と新しい直線
• 6.3　上半平面に距離を定義して双曲幾何を構成
• 6.4　双曲直線
• 6.5　化粧直しをしたピタゴラスの定理 ―3平方の定理とは何だったか―
• 6.6　永久問題を美しく解決！
• 6.7　永久問題とは何だったか
• 6.8　双曲三角形の内角の和は180°より小
• 6.9　やっぱり合同はあるが相似はない −相似に見えて合同な双曲三角形−
• 6.10　双曲三角形の内心と重心を調べる
• 6.11　双曲ピタゴラスの定理を計算する
• 6.12　非ユークリッド幾何の相互関係
• 6.13　ケーリー変換 ―単位円板・上半平面間の移動―
• 6.14　曼荼羅の世界　エッシャーの開眼

第7章　時空に潜む双曲幾何 ―相対性理論とピタゴラスの定理―

• 7.1　電気力学と光学の台頭
• 7.2　相対性原理の夜明け前
• 7.3　本章のデスティネーション
• 7.4　アルバート少年の疑問
• 7.5　スイス特許局時代 ―歴史が動いた―
• 7.6　相対性理論とは
• 7.7　インターバル不変の変換
• 7.8　ブリーム線図からローレンツ変換を導く
• 7.9　レーデル線図からも試してみよう
• 7.10　二次元ミンコフスキー線図での計算
• 7.11　三次元ミンコフスキー空間の中のユークリッド平面
• 7.12　双曲面上の幾何と単位円板の幾何
• 7.13　宇宙船の船首と船尾はどうなる
• 7.14　同時性の崩壊とはなにか？
• 7.15　速度の加算はどうなるか？
• 7.16　高速で走っている物体とピタゴラスの法則
• 7.17　時空の迷彩メカニズム

第8章　ピタゴラスの教義から科学精神へ ―ユークリッドの第5公準の呪縛―

• 8.1　ピタゴラス派の幾何 ―ピタゴラス(B.C.572-492)のストーリー―
• 8.2　ユークリッド原本の平面幾何
• 8.3　永久問題「第5公準」を証明せよ
• 8.4　永久問題への試み
• 8.5　サッケリーの新構想
• 8.6　ロマンチシズム時代の幾何学
• 8.7　ガウスの永久問題への態度
• 8.8　ボヤイ親子の挑戦
• 8.9　辺境に生まれた非ユークリッド幾何

• 第9章　新しい幾何モデルからアインシュタインへ ―第5公準の呪縛からの解放―

• 9.1　ルネサンス期に生まれた射影幾何
• 9.2　ガウスの曲面論
• 9.3　ポアンカレの双曲幾何モデル
• 9.4　アインシュタインの相対性理論
• 9.5　ミンコフキーの時空間モデル
• 9.6　アインシュタインとポアンカレが考えた物理の公理
• 9.7　開けてしまったパンドラの箱
• 9.8　21世紀の科学技術へ

コラム

• 日本語「無理数」の語源
• 定理（theorem）は劇場（theatre）に由来する
• 角の単位としての角度と弧度法
• 正多面体とフラーレン
• 人生幾何
• 相対性理論エピソード（1）
• 相対性理論エピソード（2）
• 平行線角を計算してみる

問題

• 五角形を使って相似と合同の関係を示す図形
• 幾何とは？
• 複比不変の確認問題